您现在的位置:www.hg34666.com > www.hg34666.com >

就同时处理了三个迷惑的说

发布日期: 2019-09-21

  而热力学里的Legendre变换则是把系统用内能来描述改变为用焓来表述,所描述的工具是一样的,只是各自由不怜悯况下有各自的便利之处。

  这个函数是认为自变量的函数。这个变换也就是把本来正在的对应于一个它的dual space上的。

  阐发力学中的Legendre变换就是把描绘一个力学系统的动力学行为的表述体例从用Lagrangian变为Hamiltonian,对统一个系统从分歧的角度(由取速度变为取动量)去表述。你说的没错,Lagrangian是正在configuration space中的表述,而Hamiltonian所正在的辛流形就是phase space.

  然后今天你喝多了,你看x轴很是不爽:“我今天就是不要算什么‘到x轴距离’,我非要算一个到曲线y=px的距离,以显示我没喝醉我还能做代数变换”

  而legendre变换则是成立了截距和斜率之间的映照,我这么说可能比力笼统,画个图大白了,为了曲不雅我先画出fx=x^2这个函数,再看映照若何进行

  (手打不易,若是你通过我这篇文笔极差毫不严谨的小文大白了什么是legrende变换,请给我点个赞,感谢qwq)

  “对于每个x,通过把他带入f(x)的方程,你能够得出一个y,只需你带入脚够多的x,y脚够密,你就能够画出y=f(x)的图像......”

  中学物理到这里,更进一步,以上的变换过程能够让我们体味到Legendre何故成立了切丛和余切丛的联系,切丛为何是广义速度,余切丛为何是广义动量,以及Hamilton量和Lagrange量的那种关系:

  这意味着,求g(x)的极值,也就是令g(x)=0,获得的x=x0这个根,是独一的!

  然而你的现含意义是说:“啊,所以你只需要把这算出来的连续串点(x,y)连起来就行了,趁便一提点(x,y)的意义是这个点到x轴的距离为y”

  通过Legendre变换联系了对偶的切丛和余切丛,主要的成果是让Lagrange力学变成了Hamilton力学。正在任何一本阐发力学上城市给出细致引见。

  通过Legendre变换能够改变这种概念。从中学能够理解的事理来看,Legendre变换赐与了动量一个和速度平等的地位,而不是速度的从属物。

  你曾经求出来,方程g(x)=0的根有且只要一个,那就是x=x0,把他带入g(p)里,获得

  通俗的函数映照是坐标x→y之间的映照。给定一个x映照到一个y,也就是点到点的映照,如许给定脚够多的x坐标,就会发生脚够多的y坐标,而(x,y)就是函数上点的坐标,如许,你确定了脚够多的点,函数图形也就起头较着起来。如图(以函数x^2为例)

  关于为什么要换这个变量,缘由根基上是Hamilton力学的活动方程是一阶的,理论上能够解出来,比力好玩;别的量子力学都是用Hamiltonian的,也是由于“量子力学除了对易关系以外没有其他的求导体例”,所以欠好定义x的导数。

  别忘了我们要把f(x)到y=px的距离求出来,用这个距离来描述f(x)——对我们一曲正在描述统一个函数只不外现正在用的目标纷歧样了。具体的做法是:

  典范力学中,哈密顿(Hamiltonian)函数是拉格朗日(Lagrangian)函数的勒让德(Legendre)变换。如何用笼统的数学概念注释勒让德变换?或者有好的曲觉注释也行? 我的理解是哈密顿函数是定义正在相空间(phase space=cotangent bundle on space)上的,拉格朗日函数是定义正在构型空间(configuration space=tangent bundle on space)上的。如许理解对么?可否把Legendre 变换取这两个空间联系起来?最好不要反复教材里的“操做化”的定义…

  勒让德变换就是把一个定义正在一个线性空间上的函数对应到一个它对偶空间上的函数,能够由定义天然指定一个从原线性空间到对偶空间的同构,而正在构型空间覆一个坐标后能够出切丛和余切丛的坐标,而正在坐标下这个同构就是你讲义上看到的那样q dot --partial L/partial q dot=p

  可是这个又不是随便换的。热力学中,我是想做如许的工作:,可是我又不想把好好地一个全微分式子变成不是全微分,于是:

  能够看到雷同勒让德变换的形式,勒让德变换也许就是,按照——也就是莱布尼茨律——这一点,来正在x和k的函数之间成立映照的(此中k是f的导函数,f必需是凸函数就是为了要求f可逆)。

  可是你曾经喝醉了,连尺子都拿不稳,更别说对着一条随便曲线一点点做垂线量距离了。于是你大手一挥,把横轴的x改成p,把x-y平面变成了p-y平面,然后把g(p)图像一画就倒头大睡——归正描述的是统一个工具,能对应关系就行!

  这个变换的环节就是对于凸函数,每条切线的斜率和正在y轴切线的截距是独一的(能够看出,这个函数里面截距绝对值越小,切线就越平,即斜率越小),如许就能够成立切线和截距间接的映照。从图上看就是,做了脚够多的切线当前,切线会把函数的鸿沟包抄起来,这和凡是映照之间做了脚够多的点,结果是一样的(都能看出函数的外形)

  我们为Legendre变换的新函数所选择的变量就是动量,这是极值前提所联系的,而两个对偶函数从两个彼此对偶的分歧物理量中给出了统一个能量表达。

  好比拉氏量是广义坐标和速度的函数,则,而按照动量的定义和力的,有。这时候代入(想适才那样)能够获得,令(即哈密顿量是拉氏量的勒让德变换),,能够获得哈密顿方程。

  因为f(x)比力特殊,这是一个凸函数(非凸不可。这个概念能够放过,它的现实主要性正在后面),这个性质另一个函数g(x)=px-f(x)画出来的图像导数枯燥!!

  然后,把x视为项,p视为自变量,你获得了一个函数g(p)。这个函数正在肆意一处p=p0的值g(p0)告诉你本来阿谁f(x)正在对应的点到y=px有多远。晓得了这一点,再取脚够多的p值,你也能够画出函数图像f(x)。

  (这是高中文科数学都有的概念,忘了的归去复习...其实这里该当写成对偶函数f*,可是那就不属于高中内容了orz)

  我只讲我认为风趣的,中学物理。中学物理中的动量定义为。正在领会阐发力学之前,我一曲认为动量是个无聊的工具,就像中学物理定义了良多无聊的物理量一样(因为中学缺乏简练的数学言语),动量只是附着正在速度上的衍生物。

  典范力学中也是如斯:我们不想用速度做为变量了,想用动量做为变量,也就是微分式子中不再呈现而是呈现。然后想想Lagangian中动量就是所以一切Lagrangian的微分式中,v,p都是一路呈现的,正好用Legendre变换就能够处理。于是,我们有了Hamiltonian:

  以上理解完全出自卑佬的汤圆偏振光:关于勒让德变换的一些工作,本人的谜底只是搬运的说,强烈保举大师看一下的,出格是操纵勒让德变换对热力学那四个式子的理解,出格独到的,超喜好这个,就同时处理了三个迷惑的说。